Firkant `ABCD` spejles først i linjen gennem `OP`, dernæst i linjen gennem `OQ`.
Hvad er det samlede resultat?
Man kan undersøge det ved at flytte på punkterne.
Og hvad bliver resultatet hvis linjen gennem `Q` i stedet for at skære den anden linje i `O` er parallel med linjen gennem `OQ`?
torsdag den 13. november 2014
torsdag den 30. oktober 2014
Skriftlig matematik med fokus på processen
Denne præsentation stammer fra et kursus 30. oktober 2014 på CFU, som Kirsten Søs Spahn og jeg har afholdt på CFU i Titangade.
torsdag den 25. september 2014
Undersøgelse af vinkler ved cirklen
Tangentvinklen
En tangent er en linje der har netop et punkt fælles med cirklen.
En tangentvinkel er vinklen mellem to forskellige tangenter til samme cirkel.
Periferivinkel
En periferivinkel er en vinkel med toppunkt på cirkelperiferien og ben der skærer cirklen.
Korde-tangentvinkel
En korde-tangentvinkel er vinklen mellem en korde og en tangent.
En korde er et linjestykke mellem to punkter på cirkelperiferien.
Indre vinkel
En indre vinkel har sit toppunkt inden for cirklen, og den har ben der skærer cirklen.
Her er vi nødt til at se på begge de buer som vinklen spænder over. Derfor må vi bruge linjer og ikke halvlinjer i konstruktionen.
Ydre vinkel
En ydre vinkel har sit toppunkt uden for cirklen, og dens ben skærer cirklen.
Også ydre vinkler spænder over to buer, og vi kan finde en sammenhæng mellem vinklens størrelse og størrelsen af de to buer.
Klik her for at downloade konstruktionen fra www.geogebratube.org
En tangent er en linje der har netop et punkt fælles med cirklen.
En tangentvinkel er vinklen mellem to forskellige tangenter til samme cirkel.
- Flyt på punkt P og find en sammenhæng mellem tangentvinklen v og den bue den spænder over, u.
- Opstil et udtryk der viser hvordan tangentvinklen kan beregnes når man kender centervinklen.
Periferivinkel
En periferivinkel er en vinkel med toppunkt på cirkelperiferien og ben der skærer cirklen.
- Flyt på punkterne P, A og B, og find en sammenhæng mellem periferivinklen v og den bue den spænder over, u.
- Opstil et udtryk der viser hvordan periferivinklen kan beregnes når man kender centervinklen.
Korde-tangentvinkel
En korde-tangentvinkel er vinklen mellem en korde og en tangent.
En korde er et linjestykke mellem to punkter på cirkelperiferien.
- Flyt på punkterne P og Q, og find en sammenhæng mellem korde-tangentvinklen v og den bue den spænder over, u.
Indre vinkel
En indre vinkel har sit toppunkt inden for cirklen, og den har ben der skærer cirklen.
Her er vi nødt til at se på begge de buer som vinklen spænder over. Derfor må vi bruge linjer og ikke halvlinjer i konstruktionen.
- Flyt på de blå punkter, og find en sammenhæng mellem den indre vinkel v og de to buer, a og b, som den spænder over.
- Opstil et udtryk der viser hvordan den indre vinkel kan beregnes når man kender de to buer den spænder over.
Ydre vinkel
En ydre vinkel har sit toppunkt uden for cirklen, og dens ben skærer cirklen.
Også ydre vinkler spænder over to buer, og vi kan finde en sammenhæng mellem vinklens størrelse og størrelsen af de to buer.
- Flyt på de blå punkter, men sørg for at punkt P bliver på højre side og uden for cirklen.
- Find en sammenhæng mellem den indre vinkel v og de toer buer a og b, som den spænder over.
- Opstil et udtryk der viser hvordan den ydre vinkel kan beregnes når man kender de to buer den spænder over.
Klik her for at downloade konstruktionen fra www.geogebratube.org
onsdag den 27. august 2014
Få matematisk notation på bloggen
Læs en opdateret version af dette indlæg her
Gå til indstillingssiden
Opret en ny gadget - vælg javascript, og indsæt følgende:
Herefter kan der skrives i asciimath, i LaTeX-syntax eller ved at kopiere MathML fx fra Word-ligninger eller Ipad-apps som MyScript MathPad, Eq Editor eller MathBrush.
Gå til indstillingssiden
Opret en ny gadget - vælg javascript, og indsæt følgende:
<script type="text/x-mathjax-config;executed=true">
MathJax.Hub.Config({
config: ["MMLorHTML.js"],
jax: ["input/TeX","input/MathML","input/AsciiMath","output/HTML-CSS","output/NativeMML"],
extensions: ["tex2jax.js","mml2jax.js","asciimath2jax.js","MathMenu.js","MathZoom.js"],
TeX: {
extensions: ["AMSmath.js","AMSsymbols.js","noErrors.js","noUndefined.js"]}
asciimath2jax: {
delimiters: [['$','$'], ['`','`']]
}
});
</script>
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_HTMLorMML.js">
</script>
Herefter kan der skrives i asciimath, i LaTeX-syntax eller ved at kopiere MathML fx fra Word-ligninger eller Ipad-apps som MyScript MathPad, Eq Editor eller MathBrush.
torsdag den 21. august 2014
Beregning af sandsynligheder med overgangsmatrix
Denne videoserie viser hvordan man kan på en let måde kan gennemføre komplicerede sandsynlighedsberegninger ved hjælp af overgangsmatricer.
Videoer og Geogebra-konstruktioner på blogspot
På Blogspot kan man vise Geogebra-konstruktioner, bare de er uploadet til Geogebratube.
Man kan også vise Youtube-videoer.
Det kaldes at indlejre - disse videoer viser hvordan man gør.
Man kan også vise Youtube-videoer.
Det kaldes at indlejre - disse videoer viser hvordan man gør.
tirsdag den 25. februar 2014
Indtastning af matematiske symboler
Dette indlæg er blevet opdateret. Læs en opdateret version, og læs om andre måder at taste matematiske formler ved at klikke på Vis indlæg om ... matematiske formler i højre side.
Ved hjælp en tilføjelse er det muligt at skrive matematiske symboler i bloggen.
Alle matematiske formler starter og slutter med tegnet `\`` (accent grave).
Find tasten hvor tegnet `\`` sidder. Det skrives ved at holde skift ned, trykke på tasten, slippe skift igen og trykke på mellemrum.
Her er nogle eksempler på hvordan man indtaster matematiske symboler:
Eksempler: `1/3`, `1/(a+b)`, `3/(12a)=1/4 a`.
Indtastning: `\``1/3`\``, `\``1/(a+b)`\``, `\``3/(12a)=1/4 a `\``
Potenser skrives med ^.
Eksempler: `3^2=9`, `(a/b)^2=a^2/b^2`, `a^2+b^2=c^2`, `a^b*a^c=a^(b+c)`.
Indtastning: `\``3^2=9`\``, `\``(a/b)^2=a^2/b^2`\``, `\``a^2+b^2=c^2`\``, `\``a^b*a^c=a^(b+c)`\`.
Gangeprik skrives med *, fx `6*7=42`.
Indtastning: `\``6*7=42`\``
Kvadratrod skrives sqrt() uden mellemrum før parentesen.
Eksempler: `sqrt(2)`, `sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)`.
Indtastning: `\``sqrt(2) `\``, `\``sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)``\``
Indeks skrives med _.
Eksempler: `x_1`, `m_(AB)`, `a_1^2`.
Indtastning: `\`` x_1`\``, `\``m_(AB)`\``, `\``a_1^2`\``.
`le`, `ge`, `ne` indtastes `\``le`\``, `\``ge`\``, `\``ne`\``
(forkortelse for less or equal to, greater or equal to, not equal to).
`l_|_m` betyder `l` er vinkelret på `m`. Indtastning: `\``l_|_m`\``
`P in l` betyder at punktet `P` ligger på linjen `l`. Indtastning: `\``P in l`\``.
`in` er mængdelærens symbol for ”tilhører” eller ”er element i mængden”. Tast `\``in`\``.
Tegnet for ”tilhører ikke”, `notin`, tastes `\``notin`\``.
`pi` indtastes `\``pi`\``.
Andre græske bogstaver, fx `alpha`, `beta`, `gamma`, osv. som Geogebra bruger for vinkler, indtastes `\``alpha`\``, `\``beta`\``, `\``gamma`\`` (hvis man ikke foretrækker at døbe dem om).
Tegnet for vinkler, `angle`, indtastes `\``angle`\``.
Det bruges til at angive vinkler ved hjælp af punkter,
fx `angle A`, `angle ABC`, `angle APM+angle MPB = angle APB`.
Indtastning: `\``angle A`\``, `\``angle ABC`\``, `\``angle APM+angle MPB = angle APB`\``.
Gradsymbolet, som i `180^circ`, skrives `\``^@`\`` eller `\``^circ`\``.
^ står mellem tallet og gradtegnet, ellers står der `180@`.
Indtastning: `\``p=>q`\``
`p<=>q` betyder `p` er ensbetydende med `q`.
Indtastning: `\``p<=>q`\``
Tegnet `^^` betyder og og indtastes `\``^^`\``
Tegnet `vv` betyder eller og indtastes `\``vv`\``
Tilsvarende tastes de hele tal `ZZ`, de rationale tal `QQ`, de reelle tal `RR` og de komplekse tal `CC` således:
`\``ZZ`\``, `\``QQ\``, `\``RR`\``, `\``CC`\``.
Vi har intet symbol for de irrationale tal. I stedet skrives `RR\\QQ` (læses `RR` på nær `QQ`). Indtastning: `\``RR\\QQ`\``
`N_0` betyder mængden af naturlige tal samt 0. Indtastning: `\``NN_0`\``
Ved hjælp en tilføjelse er det muligt at skrive matematiske symboler i bloggen.
Alle matematiske formler starter og slutter med tegnet `\`` (accent grave).
Find tasten hvor tegnet `\`` sidder. Det skrives ved at holde skift ned, trykke på tasten, slippe skift igen og trykke på mellemrum.
Her er nogle eksempler på hvordan man indtaster matematiske symboler:
Almindelige matematiske symboler
Brøker skrives med /.Eksempler: `1/3`, `1/(a+b)`, `3/(12a)=1/4 a`.
Indtastning: `\``1/3`\``, `\``1/(a+b)`\``, `\``3/(12a)=1/4 a `\``
Potenser skrives med ^.
Eksempler: `3^2=9`, `(a/b)^2=a^2/b^2`, `a^2+b^2=c^2`, `a^b*a^c=a^(b+c)`.
Indtastning: `\``3^2=9`\``, `\``(a/b)^2=a^2/b^2`\``, `\``a^2+b^2=c^2`\``, `\``a^b*a^c=a^(b+c)`\`.
Gangeprik skrives med *, fx `6*7=42`.
Indtastning: `\``6*7=42`\``
Kvadratrod skrives sqrt() uden mellemrum før parentesen.
Eksempler: `sqrt(2)`, `sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)`.
Indtastning: `\``sqrt(2) `\``, `\``sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)``\``
Indeks skrives med _.
Eksempler: `x_1`, `m_(AB)`, `a_1^2`.
Indtastning: `\`` x_1`\``, `\``m_(AB)`\``, `\``a_1^2`\``.
`le`, `ge`, `ne` indtastes `\``le`\``, `\``ge`\``, `\``ne`\``
(forkortelse for less or equal to, greater or equal to, not equal to).
Geometriske symboler
`l||m` betyder `l` er parallel med `m`. Indtastning: `\``l||m`\```l_|_m` betyder `l` er vinkelret på `m`. Indtastning: `\``l_|_m`\``
`P in l` betyder at punktet `P` ligger på linjen `l`. Indtastning: `\``P in l`\``.
`in` er mængdelærens symbol for ”tilhører” eller ”er element i mængden”. Tast `\``in`\``.
Tegnet for ”tilhører ikke”, `notin`, tastes `\``notin`\``.
`pi` indtastes `\``pi`\``.
Andre græske bogstaver, fx `alpha`, `beta`, `gamma`, osv. som Geogebra bruger for vinkler, indtastes `\``alpha`\``, `\``beta`\``, `\``gamma`\`` (hvis man ikke foretrækker at døbe dem om).
Tegnet for vinkler, `angle`, indtastes `\``angle`\``.
Det bruges til at angive vinkler ved hjælp af punkter,
fx `angle A`, `angle ABC`, `angle APM+angle MPB = angle APB`.
Indtastning: `\``angle A`\``, `\``angle ABC`\``, `\``angle APM+angle MPB = angle APB`\``.
Gradsymbolet, som i `180^circ`, skrives `\``^@`\`` eller `\``^circ`\``.
^ står mellem tallet og gradtegnet, ellers står der `180@`.
Udsagn
`p=>q` betyder `p` medfører `q`.Indtastning: `\``p=>q`\``
`p<=>q` betyder `p` er ensbetydende med `q`.
Indtastning: `\``p<=>q`\``
Tegnet `^^` betyder og og indtastes `\``^^`\``
Tegnet `vv` betyder eller og indtastes `\``vv`\``
Særlige talmængder
`NN`, de naturlige tal, indtastes `\``NN`\``.Tilsvarende tastes de hele tal `ZZ`, de rationale tal `QQ`, de reelle tal `RR` og de komplekse tal `CC` således:
`\``ZZ`\``, `\``QQ\``, `\``RR`\``, `\``CC`\``.
Vi har intet symbol for de irrationale tal. I stedet skrives `RR\\QQ` (læses `RR` på nær `QQ`). Indtastning: `\``RR\\QQ`\``
`N_0` betyder mængden af naturlige tal samt 0. Indtastning: `\``NN_0`\``
Hvis du vil vide mere
Se www1.chapman.edu/~jipsen/mathml/asciimathsyntax.html.tirsdag den 28. januar 2014
Sammensætning af drejning og spejling
I disse to mønstre spejles en firkant i aksen `s`, og den drejes også om punktet `D`.
Når spejlingen og drejningen er symmetrier i det samlede mønster, skal hver ny firkant der opstår, også både spejles i `s` og drejes om `D`.
Afprøv først hvad der sker, når drejningscentret `D` ligger på aksen `s`.
Afprøv derefter hvad resultatet bliver når der spejles i et punkt uden for spejlingsaksen. Begrund resultatet ved at benytte sætningen om sammensætning af to spejlinger.
Man kan arbejde med figurerne på denne side eller hente de originale konstruktioner til figuren hvor punktet ligger på spejlingsaksen, og figuren hvor punktet ligger uden for spejlingsaksen.
Når spejlingen og drejningen er symmetrier i det samlede mønster, skal hver ny firkant der opstår, også både spejles i `s` og drejes om `D`.
Afprøv først hvad der sker, når drejningscentret `D` ligger på aksen `s`.
Afprøv derefter hvad resultatet bliver når der spejles i et punkt uden for spejlingsaksen. Begrund resultatet ved at benytte sætningen om sammensætning af to spejlinger.
Man kan arbejde med figurerne på denne side eller hente de originale konstruktioner til figuren hvor punktet ligger på spejlingsaksen, og figuren hvor punktet ligger uden for spejlingsaksen.
Abonner på:
Opslag (Atom)